Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

求：
（1）z=x²+y²的取值范圍；
（2）z=

x+y

x

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，對應(yīng)的平面區(qū)域，（1）利用x²+y²的幾何意義：動點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方，即可求最小值．
（2）化簡所求表達(dá)式為直線的斜率的形式，求出斜率的范圍即可．

解答： 解：（1）設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為動點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方．
作出不等式組

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知

x-y-2=0 y-2=0

，解得

x=4 y=2

，
即點(diǎn)C（4，2）到原點(diǎn)的距離最大，
原點(diǎn)到直線

x+2y-5=0 y-2=0

的交點(diǎn)的距離最小．
解得

x=1 y=2

，即B點(diǎn)（1，2）距離最小，
距離平方的最小值為：1²+2²=5．
距離平方的最大值為：2²+4²=20．
z=x²+y²的取值范圍[5，20]．
（2）z=

x+y

x

=1+

y

x

，表達(dá)式的幾何意義是：可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率加1，

x-y-2=0 x+2y-5=0

，解得：

x=3 y=1

，A（3，1）．
由圖象可知：k_OB=

2-1

1-0

=2，k_AO=

1-0

3-0

=

1

3

，
所以z的范圍為：[

4

3

，3]．

點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決線性規(guī)劃內(nèi)容的基本方法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．