Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)．
（1）哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB₁是異面直線(xiàn)？
（2）求異面直線(xiàn)DB₁與CB所成角的余弦值
（3）求證：C₁O∥平面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，O是底ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則棱CB、CD、CC₁、D₁A₁、D₁D、D₁C₁所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB₁是異面直線(xiàn)．
（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，先找出異面直線(xiàn)DB₁與CB所成角為∠B₁DA （或其補(bǔ)角）．△B₁DA 中，由余弦定理可得cos∠B₁DA 的值，即可求得異面直線(xiàn)DB₁與CB所成角的余弦值．
（3）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=M，證明四邊形AOC₁M為平行四邊形，故有C₁O∥AM．再根據(jù)直線(xiàn)和平面平行的判定定理證得C₁O∥平面AB₁D₁．

解答：解：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，O是底ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則棱CB、CD、CC₁、D₁A₁、D₁D、D₁C₁所在
直線(xiàn)與直線(xiàn)AB₁是異面直線(xiàn)．
（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，根據(jù)DA∥CB，可得異面直線(xiàn)DB₁與CB所成角為∠B₁DA （或其補(bǔ)角）．
△B₁DA 中，由于DA=1，DB₁=

3

，AB₁=

2

，則由余弦定理可得cos∠B₁DA=

DB12+DA2-AB12

2DA•DB1

=

1+3-2

2×1× 3

=

3

3

，
故異面直線(xiàn)DB₁與CB所成角的余弦值為

3

3

．
（3）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=M，則由正方體的性質(zhì)可得 AO和C₁M平行且相等，故四邊形AOC₁M為平行四邊形，
故有C₁O∥AM．
再由AM在平面AB₁D₁內(nèi)，而CO不在平面AB₁D₁內(nèi)，∴C₁O∥平面AB₁D₁． （3分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線(xiàn)的判斷、異面直線(xiàn)所成的角的定義和求法，直線(xiàn)和平面平行的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．