【題目】如圖，OA是南北方向的一條公路，OB是北偏東45°方向的一條公路，某風景區(qū)的一段邊界為曲線C．為方便游客光，擬過曲線C上的某點分別修建與公路OA，OB垂直的兩條道路PM，PN，且PM，PN的造價分別為5萬元/百米，40萬元/百米，建立如圖所示的直角坐標系xoy，則曲線符合函數(shù)y=x+ （1≤x≤9）模型，設PM=x，修建兩條道路PM，PN的總造價為f（x）萬元，題中所涉及的長度單位均為百米．

（1）求f（x）解析式；
（2）當x為多少時，總造價f（x）最低？并求出最低造價．

【答案】
（1）解：在如圖所示的直角坐標系中，因為曲線C的方程為 ，

所以點P坐標為 ，

直線OB的方程為x﹣y=0，

則點P到直線x﹣y=0的距離為 ，

又PM的造價為5萬元/百米，PN的造價為40萬元/百米．

則兩條道路總造價為 ．

答：兩條道路PM，PN總造價f（x）為 （1≤x≤9）；


（2）因為 ，

所以 ，

令f'（x）=0，得x=4，列表如下：

x

（1，4）

4

（4，9）

f'（x）

﹣

0

﹣

f（x）

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以當x=4時，函數(shù)f（x）有最小值，最小值為 ．

答：當x=4時，總造價最低，最低造價為30萬元．


【解析】（1）由題意求出點P的坐標以及直線OB的方程根據(jù)點到直線的距離公式即可求出f（x）解析式。（2）利用導函數(shù)求出極值即為最低造價。

練習冊系列答案
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