Question

已知橢圓的離心率為，以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）E、F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，為定點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1）解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為（c，0）
∵以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線相切
∴
∵e=，∴a=2c
∴，∴c=1
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴
（2）證明：設(shè)直線AE方程：得，
代入橢圓方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4-12=0
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以x₁=，y₁=kx₁+-k．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x₂=，y₂=-kx₂++k．
所以直線EF的斜率k_EF==．
即直線EF的斜率為定值，其值為．
分析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線相切，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線AE方程代入橢圓方程，利用點(diǎn)在橢圓上，可求E的坐標(biāo)，利用直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，可求F的坐標(biāo)，從而可得直線EF的斜率，問題得解．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的求解，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．