Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（x∈R）的圖象與直線15x-y+10=0相切于點（-1，-5），且函數(shù)f（x）在x=4處取得極值．
（1）求f（x）的解析式；   （2）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)值為15，把x=-1代入f（x）得到函數(shù)值為-5，把x=4代入導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)值為0，列出關(guān)于a，b和c的方程組，求出方程組的解即可得到a，b和c的值，代入即可確定出f（x）；
（2）把（1）求出的a和b代入導(dǎo)函數(shù)中確定出解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值和極小值．

解答：.解：（1）求出導(dǎo)函數(shù)得：f′（x）=3ax²+2bx，
由題意可知：

f′(-1)=15 f(-1)=-5 f′(4)=0

，即

3a-2b=15 -a+b+c=-5 48a+8b=0

，
解得：

a=1 b=-6 c=2

，∴f（x）=x³-6x²+2；
（2）把a=1，b=-6代入導(dǎo)函數(shù)得：f′（x）=3x²-12x，
由f′（x）=0，解得x=0或x=4，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值2	↓	極小值-30	↑

∴當(dāng)x=0時，f（x）取得極大值2，當(dāng)x=4時，f（x）取得極小值-30．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．