Question

3．某工程隊(duì)在南海海域進(jìn)行填海造地工程，欲在邊長(zhǎng)為1千米的正三角形島礁ABC的外圍選擇一點(diǎn)D（D在平面ABC內(nèi)），建設(shè)一條軍用飛機(jī)跑道AD，在點(diǎn)D測(cè)得B、C兩點(diǎn)的視角∠BDC=60°，如圖所示，記∠CBD=θ，如何設(shè)計(jì)θ，使得飛機(jī)跑道AD最長(zhǎng)？

Answer 1

分析 首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．

解答 解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知$\frac{BC}{sin60°}=\frac{BD}{sin（120°-θ）}$，
所以$BD=\frac{sin（120°-θ）}{sin60°}=cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$，…（4分）
在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos（60°+θ），…（8分）
AD²=${1^2}+{（{cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ}）^2}-2×1×（{cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ}）（{\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）$=$1+\frac{4}{3}{sin^2}θ+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinθcosθ$=$\frac{5}{3}+\frac{4}{3}sin（{2θ-30°}）$…（14分）
當(dāng)2θ-30°=90°，θ=60°時(shí)，跑道AD最長(zhǎng)．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用；關(guān)鍵是利用兩個(gè)定理得到三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)一步解三角形．