Question

13．（1）已知x＞$\frac{3}{2}$，求y=$\frac{1}{2x-3}$+2x-1的最小值；
（2）已知m，n＞0，且$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=1，求t=m+n的最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=$\frac{1}{2x-3}$+（2x-3）+2，運(yùn)用基本不等式可得最小值，注意等號成立的條件；
（2）運(yùn)用乘1法，可得t=m+n=$（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）=\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$+5，再由基本不等式可得最小值，求得等號成立的條件．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2x-3}$+2x-1=$\frac{1}{2x-3}$+（2x-3）+2，
又x＞$\frac{3}{2}$，可得2x-3＞0，
由基本不等式可得y=$\frac{1}{2x-3}$+（2x-3）+2≥2$\sqrt{\frac{1}{2x-3}•（2x-3）}$+2=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2x-3}$=2x-3時等號成立，
即當(dāng)x=2時y有最小值4；
（2）由$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=1，可得t=m+n=$（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）=\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$+5，
又m，n＞0，由基本不等式可得t=$\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}+5≥2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}=\frac{4m}{n}$時等號成立，
又$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=1，當(dāng)m=3，n=6時t有最小值9．

點評 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意運(yùn)用變形和乘1法，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．