Question

11．已知D是以點(diǎn)A（4，1），B（-1，-6），C（-2，3）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界及內(nèi)部）．
（1）寫(xiě)出表示區(qū)域D的不等式組；
（2）設(shè)點(diǎn)B（-1，-6）、C（-2，3）在直線4x-3y-a=0的異側(cè)，求a的取值范圍；
（3）若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y（k＜0）的最小值為-k-6，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先分別求出AB，BC，AB的方程，結(jié)合二元一次不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行表示，
（2）根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元一次不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)建立直線斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）A（4，1），B（-1，-6），C（-2，3）為頂點(diǎn)，
則直線方程AB：$\frac{y-1}{-6-1}=\frac{x-4}{-1-4}$得7x-5y-23=0，
AC：$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-4}{-2-4}$，即x+3y-7=0，
BC：$\frac{y-3}{-6-3}=\frac{x+2}{-1+2}$，即9x+y+15=0，
則對(duì)應(yīng)的不等式組為$\left\{\begin{array}{l}{7x-5y-23≤0}\\{x+3y-7≤0}\\{9x+y+15≥0}\end{array}\right.$．
（2）∵點(diǎn)B（-1，-6）、C（-2，3）在直線4x-3y-a=0的異側(cè)，
∴將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得（14-a）（-17-a）＜0，
即（a-14）（a+17）＜0，得-17＜a＜14．
（3）∵z=kx+y（k＜0）的最小值為-k-6，這也是將點(diǎn)B（-1，-6）的坐標(biāo)代入的結(jié)果，
∴B是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，
∵y=-kx+z，∴0＜-k＜k_AB或k_BC＜-k＜0，（∵k＜0，∴這種情況不存在）
∵k_AB=$\frac{7}{5}$，∴0＜-k＜$\frac{7}{5}$，即-$\frac{7}{5}$＜k＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和作圖能力．