已知f(x)=sin(2x+
π
3
)+sin(2x-
π
3
)+2cos2x,x∈R

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-m在區(qū)間[-
π
4
,
π
4
]
上沒(méi)有零點(diǎn),求m的取值范圍.
分析:(1)函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn),整理后利用兩角和與差得正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),找出ω的值即可求出函數(shù)的最小正周期;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[
π
2
+2kπ,
2
+2kπ],k∈Z,求出x的范圍即可;
(3)作出函數(shù)y=f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的圖象,函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn),即方程f(x)-m=0無(wú)解,亦即:函數(shù)y=f(x)與y=m在x∈[-
π
4
,
π
4
]上無(wú)交點(diǎn)從圖象可看出f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的值域?yàn)閇0,
2
+1],利用圖象即可求出m的范圍.
解答:解:(1)f(x)=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
1
2
sin2x-
3
2
cos2x=sin2x+cos2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1,
∵ω=2,∴T=π;
(2)由
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
2
+2kπ,k∈Z得:
π
8
+kπ≤x≤
8
+kπ,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+
π
8
,kπ+
8
],k∈Z;
(3)作出函數(shù)y=f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的圖象如下:

函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn),即方程f(x)-m=0無(wú)解,
亦即:函數(shù)y=f(x)與y=m在x∈[-
π
4
,
π
4
]上無(wú)交點(diǎn)從圖象可看出f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的值域?yàn)閇0,
2
+1],
則m>
2
+1或m<0.
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=sin(2x-
π
6
)-2m
x∈[0,
π
2
]
上有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為( 。
A、(
1
4
,
1
2
)
B、[
1
4
,
1
2
]
C、[
1
4
,
1
2
D、(
1
4
,
1
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=sin(x+
π
2
),g(x)=cos(x-
π
2
)
,則下列結(jié)論中正確的是( 。
A、函數(shù)y=f(x)•g(x)的周期為2
B、函數(shù)y=f(x)•g(x)的最大值為1
C、將f(x)的圖象向左平移
π
2
個(gè)單位后得到g(x)的圖象
D、將f(x)的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位后得到g(x)的圖象

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
sinπx(x≥0)
f(x+1)-1(x<0)
,若f(-
5
6
)+f(m)=-1
,且1<m<2,則m=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=sin[
π
3
(x+1)]-
3
cos[
π
3
(x+1)]
,則f(1)+f(2)+…+f(2011)+f(2012)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=sin(2x+
π
6
)+cos(2x-
π
3
)

(Ⅰ)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(C)=1,c=2
3
,sinA=2sinB,求△ABC的面積.

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