Question

17．在△ABC中，若a=2，b+c=7，$cosB=-\frac{1}{4}$．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知運(yùn)用余弦定理整理可得15b=60，即可解得b的值．
（2）結(jié)合范圍B∈（0，π），由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）由已知條件a=2，c=7-b，$cosB=-\frac{1}{4}$，
運(yùn)用余弦定理，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{4+（7-b）^{2}-^{2}}{4（7-b）}$=-$\frac{1}{4}$，整理可得：b-7=53-14b，即：15b=60，
解得：b=4．
（2）∵B∈（0，π），
∴$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
而a=2，c=7-b=3，
由△ABC的面積公式${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$，
得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．