Question

7．使奇函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）在[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數(shù)的θ（θ∈（0，π））的值為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，求出θ，x∈[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數(shù)，確定θ的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）．
化簡可得：f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
∵f（x）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，即：θ+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴θ=kπ-$\frac{π}{3}$．
在x∈[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數(shù)；即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}×2+\frac{π}{3}+θ≥\frac{π}{2}+2kπ}\\{θ+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$k∈Z，
可得：$\frac{2π}{3}+2kπ≤θ≤\frac{7π}{6}+2kπ$．
綜上可得：滿足題意的θ的值為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．