Question

17．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），短軸長為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，且點(diǎn)P與橢圓C的兩個焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成一個以∠PF₂F₁為直角的直角三角形，求$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義得出b，c，計算出a即可得出橢圓方程；
（2）求出P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂三點(diǎn)的坐標(biāo)，計算距離即可得出距離比．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$．
由題意得c=2，b=2$\sqrt{3}$，∴a=4．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）設(shè)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∵∠PF₂F₁=90°．∴PF₂⊥x軸，
不妨設(shè)P位于第一象限，則P（2，3）
∴|PF₁|=$\sqrt{（2+2）^{2}+{3}^{2}}$=5，|PF₂|=3．
∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義與簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．