Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）-ax．
（1）當(dāng)a=1時，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=f（x）+x³-x²在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，先求函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）化簡g（x）=f（x）+x³-x²=ln（ax+1）-ax+x³-x²；從而可得a≥0，從而再討論，當(dāng)a=0時，g（x）=x³-x²，其在[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)a＞0時，g′（x）=

a

ax+1

-a+3x²-2x=

x(3ax2+(3-2a)x-(2+a2))

ax+1

≥0；即3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)化為3a+（3-2a）-（2+a²）≥0；從而解得．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）-x的定義域為（-1，+∞）；
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

；
則當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）=ln（x+1）-x的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
（2）g（x）=f（x）+x³-x²=ln（ax+1）-ax+x³-x²；
∵g（x）=f（x）+x³-x²在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴a≥0，
①當(dāng)a=0時，g（x）=x³-x²，其在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時，g′（x）=

a

ax+1

-a+3x²-2x
=

x(3ax2+(3-2a)x-(2+a2))

ax+1

≥0；
即3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立，
而-

3-2a

2×3a

=

1

3

-

1

2a

＜

1

3

；
故3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立可化為
3a+（3-2a）-（2+a²）≥0；
解得，

1- 5

2

≤a≤

1+ 5

2

；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[0，

1+ 5

2

]．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．