Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）若x₁、x₂∈[1，+∞），試比較ln（x₁x₂）與x₁+x₂-2的大�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入a=-1求函數(shù)f（x）=-lnx+x-3的定義域，從而求導f′（x）=

x-1

x

；由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）可知f′（2）=-

a

2

=tan45°；從而化簡f（x）=-2lnx+2x-3，從而得 g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，求導g′（x）=3x²+（m+4）x-2；從而轉(zhuǎn)化為零點的存在性問題；
（3）由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得-lnx+x-1≥0，即lnx≤x-1；從而判斷大小．

解答： 解：（1）f（x）=-lnx+x-3的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

x-1

x

；
則當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
（2）由題意知，f′（2）=-

a

2

=tan45°；
故a=-2，
則f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2；
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2；
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

；
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
∴-

37

3

＜m＜-9；
（3）由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x∈[1，+∞）時，f（x）≥f（1），即-lnx+x-1≥0，
故lnx≤x-1；
∵x₁、x₂∈[1，+∞），
∴l(xiāng)n（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂≤x₁+x₂-2；
即ln（x₁x₂）≤x₁+x₂-2．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．