Question

5．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²+ax-$\frac{b^2}{4}$+1=0．
（1）若a是從1，2，3這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程中有實(shí)根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析 （1）利用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示基本事件，由古典概型公式解答；
（2）表示a，b滿足的區(qū)域，求出面積，利用幾何概型解答．

解答 解：（1）由題意，知基本事件共有9個(gè)，可用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示為（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一個(gè)表示a的取值，第二個(gè)表示b的取值．
由方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$的$△={a^2}-4（-\frac{b^2}{4}+1）={a^2}+{b^2}-4≥0$，
可得，a²+b²≥4，
所以方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$有實(shí)根包含7個(gè)基本事件，
即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
所以，此時(shí)方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$有實(shí)根的概率為$\frac{7}{9}$．
（2）a，b的取值所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，
∴構(gòu)成“方程${x^2}+ax-\frac{b^2}{4}+1=0$有實(shí)根”這一事件的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|a²+b²≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（圖中陰影部分）
∴此時(shí)所求概率為$\frac{{2×3-\frac{1}{4}×π×{2^2}}}{2×3}=1-\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型、幾何概型的概率公式的運(yùn)用；關(guān)鍵是明確事件的屬性，正確選擇概率模型．