Question

16．已知函數(shù)f（x）=xⁿ+f′（1）（n∈N），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+3y-2=0垂直，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值是2．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得n=3，求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在[-1，2]的符號(hào)，可得單調(diào)性，進(jìn)而得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=xⁿ+f′（1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=nx^n-1，
可得y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=n，
由切線與直線x+3y-2=0垂直，可得n•（-$\frac{1}{3}$）=-1，
解得n=3，即有f（x）=x³+3，
可得f′（x）=3x²，
即有f′（x）≥0在[-1，2]恒成立，可得f（x）在[-1，2]遞增，
即有f（-1）取得最小值，且為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．