Question

1．函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{16}{x}^{2}（0≤x≤2）}\\{（\frac{1}{2}）^{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{4}$，0）
• B． （$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$）∪（$-\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）
• D． （-$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{8}$）

Answer 1

分析 做出f（x）的函數(shù)圖象，令f（x）=t，根據(jù)圖象得出方程f（x）=t的解的情況，得出t的范圍，從而得出a的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，顯然，當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t只有一解x=0，
當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{4}$時(shí)，方程f（x）=t有四個(gè)解，
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，方程f（x）=t有兩解，
當(dāng)t＜0或t＞$\frac{1}{4}$時(shí)，方程f（x）=t無(wú)解．
∵關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴關(guān)于t的方程t²+at+b=0，t∈R有兩解，且一解為t₁=0，另一解t₂∈（0，$\frac{1}{4}$），
∴b=0，
∵t²+at=0的兩解分別為t₁=0，t₂=-a，
∴0$＜-a＜\frac{1}{4}$，解得-$\frac{1}{4}$＜a＜0．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．