Question

9．在正棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點(diǎn)，AA₁：AB=$\sqrt{2}$：1，則異面直線AB₁與BD所成的角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 （幾何法）
設(shè)AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，取A₁C₁的中點(diǎn)E，連結(jié)B₁E，AE，則B₁E∥BD，∠AB₁E是異面直線AB₁與BD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出異面直線AB₁與BD所成的角．
（向量法）
設(shè)AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，以A為原點(diǎn)，過A在平面ABC內(nèi)作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB₁與BD所成的角．

解答 解：（幾何法）
∵在正棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點(diǎn)，AA₁：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴設(shè)AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，
取A₁C₁的中點(diǎn)E，連結(jié)B₁E，AE，則B₁E∥BD，
∴∠AB₁E是異面直線AB₁與BD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
B₁E=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB₁=$\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos∠AB₁E=$\frac{A{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}-A{E}^{2}}{2A{B}_{1}•{B}_{1}E}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{9}{4}}{2•\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AB₁E=60°，
∴異面直線AB₁與BD所成的角為60°．
故選：C．
（向量法）
∵在正棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點(diǎn)，AA₁：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴設(shè)AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，
以A為原點(diǎn)，過A在平面ABC內(nèi)作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），D（0，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
設(shè)異面直線AB₁與BD所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴異面直線AB₁與BD所成的角為60°．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．