Question

3．已知函數(shù)f（x）=cos2x+cos²x+tsinx在x∈（0，π）上恒大于0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，+∞）．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得t＞$\frac{{3sin}^{2}x-2}{sinx}$=3sinx-$\frac{2}{sinx}$．利用基本不等式求函數(shù)3sinx-$\frac{2}{sinx}$ 的最大值，可得t的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos2x+cos²x+tsinx=1-2sin²x+1-sin²x+tsinx=-3sin²x+tsinx+2＞0恒成立，
∴t＞$\frac{{3sin}^{2}x-2}{sinx}$=3sinx-$\frac{2}{sinx}$．
令m=sinx，m∈（0，1]，則t＞3m-$\frac{2}{m}$．
由于函數(shù)y=3m-$\frac{2}{m}$ 在（0，1]上是增函數(shù)，故當(dāng)m=1時(shí)，y取得最大值為1，
∴t＞1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求函數(shù)的最值，基本不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．