Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，2a_n+1=2a_n+1（n∈N）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿa_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=2ⁿa_n+1=（n+1）•2^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{2}$，
即有a_n=a₁+（n-1）d=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n；
（Ⅱ）b_n=2ⁿa_n+1=（n+1）•2^n-1，
前n項(xiàng)和S_n=2•1+3•2+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1，
2S_n=2•2+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
相減可得，-S_n=2+（2+…+2^n-2+2^n-1）-（n+1）•2ⁿ
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ，
化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和S_n=n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．