已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試解答下列兩小題.
(i)若不等式對(duì)任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(ii)若是兩個(gè)不相等的正數(shù),且以
,求證:
.
(I)①當(dāng)時(shí),
遞增區(qū)間是
;②當(dāng)
時(shí),
遞增區(qū)間是
,遞減區(qū)間為
;(Ⅱ)(i)實(shí)數(shù)
的取值范圍為
;(ii)詳見試題解析.
解析試題分析:(I)首先求函數(shù)的定義域,再求
的導(dǎo)數(shù),令
下面分
和
討論求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)(i)先由已知條件,將問題轉(zhuǎn)化為
設(shè)
求函數(shù)
的導(dǎo)數(shù):
,由此討論可得
在
上為減函數(shù),從而求得實(shí)數(shù)
的取值范圍;(ii)先根據(jù)已知條件把
化簡(jiǎn)為
,只要證
設(shè)
,構(gòu)造函數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)可得
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,最終證得
.
試題解析:(I)解:函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/42/f/lr0rw1.png" style="vertical-align:middle;" />令
①當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,∴
遞增區(qū)間是
;
②當(dāng)時(shí),由
可得
,∴
遞增區(qū)間是
,遞減區(qū)間為
. (6分)
(Ⅱ)(i)解:設(shè)則
.
∵在
上恒成立,∴
在
上為減函數(shù),∴
實(shí)數(shù)
的取值范圍為
. (10分)
(ii)證明:.設(shè)
,則
.
令,得
,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增
. (15分)
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題中的參數(shù)取值范圍問題參數(shù);3.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),
;
(1)求證:函數(shù)在
上單調(diào)遞增;
(2)設(shè),
,若直線
軸,求
兩點(diǎn)間的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)上為增函數(shù),且
,
,
.
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)
,使得
成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知
(1) 求函數(shù)上的最小值;
(2) 若對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3) 證明:對(duì)一切,都有
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求在
處切線方程;
(2)求證:函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
(3)若不等式對(duì)任意的
都成立,求實(shí)數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在
上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)
,使線段
的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)
與直線
的斜率
之間滿足
?若存在,求出
;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
≤
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)若函數(shù)
在x = 0處取得極值.
(1) 求實(shí)數(shù)的值;
(2) 若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3) 證明:對(duì)任意的自然數(shù)n,有恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)和
,且
.
(1)求函數(shù),
的表達(dá)式;
(2)當(dāng)時(shí),不等式
在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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