Question

12．函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+2ny-1=0（mn＞0）上，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的范圍．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)可得A（1，1），可得m+2n=1，整體代入可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（m+2n）=3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$，由基本不等式分類(lèi)討論可得．

解答 解：當(dāng)1-x=0即x=1時(shí)，y=a^1-x=1，
∴函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（1，1），
∵點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+2ny-1=0（mn＞0）上，
∴m+2n-1=0，即m+2n=1，
當(dāng)mn同為正數(shù)時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（m+2n）
=3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{n}$即m=$\sqrt{2}$n時(shí)取等號(hào)；
當(dāng)mn同為負(fù)數(shù)時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（m+2n）
=3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$≤3-2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{n}}$=3-2$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{n}$即m=$\sqrt{2}$n時(shí)取等號(hào)；
故$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的范圍為：（-∞，3-2$\sqrt{2}$]∪[3+2$\sqrt{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及指數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和分類(lèi)討論，屬基礎(chǔ)題．