Question

17．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a、b、c，若c、a、b成等差數(shù)列，則角A的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 由已知a，b，c成等差數(shù)列結(jié)合正弦定理可得，2sinB=sinA+sinC利用和差化積公式可得，2sinA=2sin$\frac{B-C}{2}$，再利用半角公式及誘導(dǎo)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：∵c，a，b成等差數(shù)列2a=b+c，
由正弦定理可得，2sinA=sinB+sinC，
則2sinA=2sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=sin$\frac{π-A}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$=cos$\frac{B-C}{2}$，
∵-1≤cos$\frac{B-C}{2}$≤1且sin$\frac{A}{2}$＞0，
從而可得，0＜sin$\frac{A}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{A}{2}$≤$\frac{π}{6}$，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$．
故答案為：（0，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的變形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC的應(yīng)用，和差角公式的變形及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．