Question

17．已知函數(shù)$f（x）=cos[{\frac{π}{2}（1-x）}]$，任意的t∈R，記函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），則函數(shù)h（t）=M（t）-m（t）的值域為$[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的周期公式可得其周期T=4，區(qū)間[t，t+1]的長度為$\frac{1}{4}$T，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求得函數(shù)h（t）=M（t）-m（t）的值域．

解答 解：∵$f（x）=cos[{\frac{π}{2}（1-x）}]$=sin$\frac{π}{2}$x，
∴其周期T=4，區(qū)間[t，t+1]的長度為$\frac{1}{4}$T，
又f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M_t，最小值為m_t，

由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當x∈[4k+$\frac{1}{2}$，4k+$\frac{3}{2}$]時，h（t）=M（t）-m（t），取得最小值1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當x∈[4k+$\frac{3}{2}$，4k+$\frac{5}{4}$]時，h（t）=M（t）-m（t）取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$；
∴函數(shù)h（t）的值域為$[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}}]$．
故答案為$[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}}]$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，考查分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．