2.設(shè)f(x)是定義在(-1,+∞)內(nèi)的增函數(shù),且f(xy)=f(x)+f(y)若f(3)=1且f(a)>f(a-1)+2
求:
(1)f(9)的值,
(2)求a的取值范圍.

分析 (1)利用f(3)=1,函數(shù)滿足f(xy)=f(x)+f(y),賦值法求解即可.
(2)將f(3)=1轉(zhuǎn)化為f(9),根據(jù)定義域和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式求解.

解答 解:(1)f(x)是定義在(-1,+∞)內(nèi)的增函數(shù),f(3)=1,函數(shù)滿足f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=3,f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=1+1=2.
即f(9)=2.
(2)由(1)可得f(9)=2,
則f(a)>f(a-1)+2轉(zhuǎn)化為f(a)>f(a-1)+f(9),
∴f(a)>f(9a-9),
又∵f(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù),
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a>-1}\\{a-1>-1}\\{a>9a-9}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{a>-1}\\{a>0}\\{a<\frac{9}{8}}\end{array}}\right.$,
∴$0<a<\frac{9}{8}$.
故得a的取值范圍是(0,$\frac{9}{8}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的賦值法求解函數(shù)值,利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問(wèn)題.屬于中檔題.

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