Question

1．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BB₁、CC₁的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O．
（1）求證：OE⊥平面ACD₁．
（2）求異面直線OE與BF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明OE⊥平面ACD₁．
（2）求出$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{OE}$，利用向量法能求出異面直線OE與BF所成角的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）依題意，以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁所
在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則A（2，0，0），D₁（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）E（2，2，1），F(xiàn)（0，2，1），B（2，2，0），（2分）
∴$\overrightarrow{OE}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），（4分）
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{AC}$=-2+2+0=0，$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{A{D}_{1}}$=-2+0+2=0，∴OE⊥AC，OE⊥AD₁，（6分）
∵AC∩AD₁=A，∴OE⊥平面ACD₁．（8分）
解：（2）∵$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{OE}=（1，1，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{BF}$＞=$\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{OE}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{-2+1}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，（11分）
∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查向面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．