Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（-1）^n-1•n，若對任意的正整數(shù)n，有（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍是（-3，1）．

Answer 1

分析 S_n=（-1）^n-1•n，可得：a₁=S₁=1．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=（-1）^n-1（2n-1），對n分類討論，利用（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，即可解出．

解答 解：∵S_n=（-1）^n-1•n，
∴a₁=S₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）^n-1•n-（-1）^n-2（n-1）=（-1）^n-1（2n-1），當n=1時也成立，
∴a_n=（-1）^n-1（2n-1），
當n為偶數(shù)時，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0化為：[（2n+1）-p][-（2n-1）-p]＜0，-（2n-1）＜p＜2n+1，可得-3＜p＜5．
當n為奇數(shù)時，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0化為：[-（2n+1）-p][（2n-1）-p]＜0，-（2n+1）＜p＜2n-1，可得-3＜p＜1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3＜p＜5}\\{-3＜p＜1}\end{array}\right.$，
解得-3＜p＜1．
故答案為：（-3，1）．

點評 本題考查了遞推公式、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．