Question

2．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的準線上動點M引圓O：x²+y²=b²的兩條切線MA，MB．其中A，B分別為切點，若存在點M，使△ABM為正三角形，則該橢圓的離心率的取值集合為{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求解直角三角形得到OM的值為2b，由2b≥$\frac{{a}^{2}}{c}$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式得答案．

解答 解：如圖
不妨取橢圓右準線上的點M，
∵△ABM為正三角形，∴∠OMB為30°，
在Rt△OBM中，可得OM=2b，
由2b≥$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得$4^{2}≥\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
即$4（{a}^{2}-{c}^{2}）≥\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，化為4e⁴-4e²+1≤0，
得（2e²-1）²≤0，2e²-1=0，
解得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴該橢圓的離心率的取值集合為{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．
故答案為：{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．