Question

【題目】用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成（如圖），問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】解：根據題意可設容器的高為x，容器的體積為V， 則有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）
求導可得到：V′=12x2﹣552x+4320
由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．
所以當x＜10時，V′＞0，
當10＜x＜36時，V′＜0，
當x＞36時，V′＞0，
所以，當x=10，V有極大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，
所以當x=10，V有最大值V（10）=19600
故答案為當高為10，最大容積為19600
【解析】首先分析題目求長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器當容器的高為多少時，容器的容積最大．故可設容器的高為x，體積為V，求出v關于x的方程，然后求出導函數，分析單調性即可求得最值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用基本不等式在最值問題中的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．