Question

【題目】數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）
（Ⅰ）若{an}是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若{an}滿足a1=2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，求S2n+1 ．

Answer 1

【答案】解：（ I）由題意得an+1+an=4n﹣3…①an+2+an+1=4n+1…②．
②﹣①得an+2﹣an=4，
∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴d=2，
∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴ ．
∴ ．
（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，
∴a2=﹣1．
又∵an+2﹣an=4，
∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，
S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）
=
=4n2+n+2
【解析】（Ⅰ）由題意得an+1+an=4n﹣3，an+2+an+1=4n+1．所以an+2﹣an=4，由{an}是等差數(shù)列，公差d=2，能求出 ．（Ⅱ）由a1=2，a1+a2=1，知a2=﹣1．因?yàn)閍n+2﹣an=4，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，故a2n﹣1=4n﹣2，a2n=4n﹣5．由此能求出S2n+1 ．
【考點(diǎn)精析】掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解答本題的根本，需要知道通項(xiàng)公式：或；前n項(xiàng)和公式：．