【題目】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,,點在線段上．

（I）當點為中點時，求證：∥平面；

（II）當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．

【答案】（I）建立空間直角坐標系，證明，進而得證；（II）

【解析】

試題（1）要證明直線和平面平行，只需在平面內(nèi)找一條直線，與平面外的直線平行即可，取中點，連結(jié)．可證明四邊形為平行四邊形． 于是，∥，從而證明面;（2）要證明平面和平面垂直，只需在一個平面內(nèi)找另一個平面的一條垂線，由面平面且，可證平面，從而，又可證，故平面，平面平面；（3）建立空間直角坐標系，設(shè)點M的坐標，求兩個半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，從而確定點M的位置，進而求三棱錐的體積.

試題解析：（1）證明 取中點，連結(jié)．在△中，分別為的中點，

則∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四邊形為平行四邊形． 于是，∥．又因為平面，且平面，

所以∥平面，從而可證.

（2）證明 在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因為平面，所以，平面平面.

（3）按如圖建立空間直角坐標系，點與坐標原點重合.設(shè)，則，又，設(shè)，則，即.

設(shè)是平面的法向量，則,.

取，得，即得平面的一個法向量為. 由題可知，是平面的一個法向量.因此，，即點為中點.此時，，為三棱錐的高，所以，.

練習冊系列答案
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（1）求橢圓的標準方程；

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(1)完成下列2×2列聯(lián)表：

能否有99％的把握認為老師的飲食習慣與年齡有關(guān)？

(2)從群力校區(qū)任選一名老師, 設(shè)“選到45歲以上老師”為事件, “飲食指數(shù)高于70的老師”為事件, 用調(diào)查的結(jié)果估計及（用最簡分數(shù)作答）；

(3)為了給食堂提供老師的飲食信息, 根據(jù)(1)(2)的結(jié)論，能否有更好的抽樣方法來估計老師的飲食習慣, 并說明理由.附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】在四棱椎中，底面為矩形，平面平面， ， ， 為線段上一點，且，點， 分別為線段， 的中點.

(1)求證： 平面；

(2)若平面將四棱椎分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比.

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【題目】某班甲、乙兩名同學參加l00米達標訓練，在相同條件下兩人10次訓練的成績（單位：秒）如下：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

甲

11．6

12．2

13．2

13．9

14．0

11．5

13．1

14．5

11．7

14．3

乙

12．3

13．3

14．3

11．7

12．0

12．8

13．2

13．8

14．1

12．5

（I）請作出樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖；如果從甲、乙兩名同學中選一名參加學校的100米比賽，從成績的穩(wěn)定性方面考慮，選派誰參加比賽更好，并說明理由（不用計算，可通過統(tǒng)計圖直接回答結(jié)論）．

（Ⅱ）從甲、乙兩人的10次訓練成績中各隨機抽取一次，求抽取的成績中至少有一個比12．8秒差的概率．

（Ⅲ）經(jīng)過對甲、乙兩位同學的多次成績的統(tǒng)計，甲、乙的成績都均勻分布在之間，現(xiàn)甲、乙比賽一次，求甲、乙成績之差的絕對值小于秒的概率．

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(1)求網(wǎng)民消費金額的中位數(shù)；

(2)把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關(guān)；

(3)將(2)中的頻率當作概率，電子商務(wù)平臺從該市網(wǎng)民中隨機抽取10人贈送電子禮金，求這10人中女性的人數(shù)的數(shù)學期望.

男

女

合計

30

合計

45

附表：

.

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