Question

【題目】已知為實(shí)常數(shù)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的最值；

（2）設(shè).

(i)討論函數(shù)的單調(diào)性；

（ⅱ） 若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)最大值為，無(wú)最小值；(2)(i)答案見(jiàn)解析；(ii) .

【解析】試題分析：

（1）由函數(shù)的解析式可得 ，結(jié)合函數(shù)的定義域可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為，無(wú)最小值.

（2）（i）由題意可得， .分類討論：

①當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

（ⅱ）由（i）知，當(dāng)不合題意；

當(dāng)時(shí)， ，解得.結(jié)合題意構(gòu)造新函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)討論可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域是.

令，得；令，得；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

故函數(shù)的最大值為，無(wú)最小值.

（2）（i），

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)數(shù).

①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上， ；在區(qū)間上， .

所以函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

（ⅱ）由（i）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在時(shí)增函數(shù)，在是減函數(shù)，此時(shí)為函數(shù)的最大值,

若，則最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

所以，解得.

此時(shí)，且 ，

.

令，則 .

所以在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，且， .

綜上， 的取值范圍是.