Question

9．設(shè)A、B、C是圓O：x²+y²=1上不同的三個點，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OC}$|，若存在實數(shù)λ、μ滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，則點P（λ，μ）與圓O的位置關(guān)系是（　�。�

• A． 點P在圓內(nèi)
• B． 點P在圓上
• C． 點P在圓外
• D． 不確定

Answer 1

分析 由A，B，C是圓x²+y²=1上不同的三個點，可得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，所以對$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，兩邊平方即可得到結(jié)論．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OC}$|，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
兩邊平方得：
|$\overrightarrow{OC}$|²=λ²|$\overrightarrow{OA}$|²+μ²|$\overrightarrow{OB}$|²+2λμ$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
∵A，B，C是圓O：x²+y²=1上不同的三個點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
即有λ²+μ²=1，
則點（λ，μ）與圓O的位置關(guān)系是在圓上．
故選：B．

點評 本題主要考查圓的定義及向量的模及其數(shù)量積運算，還考查了向量與實數(shù)的轉(zhuǎn)化．在向量的加，減，數(shù)乘和數(shù)量積運算中，數(shù)量積的結(jié)果是實數(shù)，所以考查應(yīng)用較多．