Question

8．已知函數(shù)F（x）=sinx•f′（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2a|x-1|-a，其中a＞0為常數(shù)．若函數(shù)y=f[f（x）]有10個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)是偶函數(shù)，通過x＞0求出f（x）的零點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，判斷x＞0時(shí)由5個(gè)零點(diǎn)，推出結(jié)果即可．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2a|x-1|-a=a（2|x-1|-1）=0，可得2|x-1|-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=0的另外兩個(gè)解為：$-\frac{1}{2}$和$-\frac{3}{2}$，由選項(xiàng)可得a＞0，
作出函數(shù)的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），則有y=f（f（x））=0得，f（t）=0，
可得t=$±\frac{1}{2}$或$±\frac{3}{2}$，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴要使函數(shù)y=f（f（x））恰有10個(gè)零點(diǎn)，
則等價(jià)于x＞0時(shí)，y=f（f（x））恰有5個(gè)零點(diǎn)，有函數(shù)的圖象可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜a}\\{\frac{3}{2}＞a}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$．
故答案為：$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解，會(huì)化難為易．