Question

18．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，求向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式計算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos60°=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4-2+1=3，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow$|²+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4+4+4=12，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4+1-2=3，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．