Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱DD₁上任意一點，F為對角線DB的中點．
（Ⅰ）求證：平面CFB₁⊥平面EFB₁；
（Ⅱ）若三棱錐B-EFC的體積為1，且

D1E

D1D

=

3

4

，
①求此正方體的棱長；
②求異面直線EF與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質證明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）若三棱錐B-EFC的體積為1，且

D1E

D1D

=

3

4

，
①設正方體的棱長為a，利用V_B-EFC=V_D-EFC=

1

3

S_△DEF•CF=

1

8

a² 求出a即可．
②以D為原點，直線DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．求出

EF

，

B1C

，利用空間向量的數量積，求解異面直線EF與B₁C所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：E、F分別為D₁D，DB的中點，
則CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，…（3分）
∵CF?平面CFB₁，∴平面CFB₁⊥平面EFB₁；　…（6分）
（Ⅱ）解：①設正方體的棱長為a，∵CF⊥平面BDD₁B₁，∴CF⊥平面EFB₁
CF=BF=

2

2

a
∵EF=

1

2

BD₁=

3

2

a，B₁F=

BB12+BF2

=

6

2

a
B₁E=

B1D12+ED12

=

3

2

a
∴EF+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，B-EFC的體積為1
∴V_B-EFC=V_D-EFC=

1

3

S_△DEF•CF=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×

6

2

a×

3

2

a=

1

8

a²
由V_B-EFC=1，解得a=2
②以D為原點，直線DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
由已知，D（0，0），E（0，0，

1

2

），F（1，1，0），B₁（2，2，2），C（0，1，0）
所以

EF

=（1，1，-

1

2

），

B1C

=（-2，-1，-2）
∴異面直線EF與B₁C所成角的余弦值為|cos（

B1C

，

EF

）|=|

2× 1 2 -3

3 ( 1 2 )2+2

|=

4

9

點評：本題考查平面與平面垂直，異面直線所成角的求法，幾何體的條件的求法，考查計算能力以及空間想象能力．