Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點(0，-

1

3

)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓必過y軸上的一定點M，并求出點M的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）根據(jù)短軸長為2，右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，求出橢圓方程中b、c的值，再求出a的值即可；
（Ⅱ）設出直線l的方程，點A、B、M的坐標，利用直線與橢圓方程聯(lián)立，求出

MA

•

MB

的表達式，令

MA

•

MB

=0，求出m的值，即得結(jié)論．

解答： 解：（I）根據(jù)題意，得；
2b=2，即b=1，
又∵拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），
即F（1，0），
∴c=1，∴a²=2，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）設過點(0，-

1

3

)且斜率為k的直線l的方程為y=kx-

1

3

，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，m）；
則由

x2 2 +y2=1 y=kx- 1 3

，得x²+2(kx-

1

3

)2-2=0，
整理，得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
顯然△＞0，且x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=

-16

9(2k2+1)

；
∴y₁+y₂=（kx₁-

1

3

）+（kx₂-

1

3

）=k（x₁+x₂）-

2

3

=

4k2

3(2k2+1)

-

2

3

=

-2

3(2k2+1)

；
y₁y₂=（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）=k²x₁x₂-

k

3

（x₁+x₂）+

1

9

=k²•

-16

9(2k2+1)

-

k

3

•

4k

3(2k2+1)

+

1

9

=

-18k2+1

9(2k2+1)

；
∵

MA

=（x₁，y₁-m），

MB

=（x₂，y₂-m），
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=

-16

9(2k2+1)

-18k2+1

9(2k2+1)

-m•

-2

3(2k2+1)

+m²
=

-16-18k2+1+6m+9m2(2k2+1)

9(2k2+1)

=

18(m2-1)k2+9m2+6m-15

9(2k2+1)

；
令

MA

•

MB

=0，
得18（m²-1）k²+9m²+6m-15=0，
又∵k∈R，∴

m2-1=0 9m2+6m-15=0

；
解得m=1；
∴當m=1時，恒有

MA

•

MB

=0；
∴以AB為直徑的圓必過y軸上的一定點M，此時點M的坐標為（0，1）．

點評：本題考查了求橢圓的標準方程的應用問題，也考查了向量與圓錐曲線的綜合應用問題以及直線與圓錐曲線的綜合應用問題，是難題．