Question

已知a＞0，且a≠1，f（log_ax）=

1

a2-1

(x-

1

x

)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）試判定函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（Ⅲ）若對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)θ∈R時(shí)，f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用換元法，令log_ax=t，則x=a^t；從而得到f（t）=

1

a2-1

（a^t-a^-t）；從而寫出f（x）；
（Ⅱ）先求函數(shù)f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）的定義域，再由定義判斷奇偶性，由函數(shù)的四則運(yùn)算判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）由以上知，f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0可化為f（a+cos2θ）＜f（6-4sinθ）；即a+cos2θ＜6-4sinθ；故a＜6-4sinθ-cos2θ=2（sinθ-1）²+1；從而化恒成立問題為最值問題求解．

解答： 解：（Ⅰ）令log_ax=t，則x=a^t；
∴f（t）=

1

a2-1

（a^t-a^-t）；
故f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）；
（Ⅱ）f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）的定義域?yàn)镽，
f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x）；
故f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，

1

a2-1

＞0，y=a^x是增函數(shù)，y=-a^-x是增函數(shù)；
故f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1

a2-1

＜0，y=a^x是減函數(shù)，y=-a^-x是減函數(shù)；
故f（x）是增函數(shù)，
故無論a取何值，f（x）是增函數(shù)；
（Ⅲ）f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0可化為
f（a+cos2θ）＜f（6-4sinθ）；
即a+cos2θ＜6-4sinθ；
故a＜6-4sinθ-cos2θ=2（sinθ-1）²+1；
∵sinθ∈[-1，1]，
∴2（sinθ-1）²+1≥1；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．