Question

若關(guān)于x的方程lnx-ax=0只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的范圍是______．

Answer 1

設(shè)f（x）=lnx-ax，定義域?yàn)椋?，+∞），則f'（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

當(dāng)a≤0，f'（x）＞0，最多有一個(gè)實(shí)根，因?yàn)閤＞0，且x→0時(shí)，f（x）＜0，f（1）≥0，所以（0，1]之間必有一個(gè)實(shí)根
a＞0，0＜x＜

1

a

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，x＞

1

a

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，f（

1

a

）=-lna-1為極大值，此極大值若為0的話，則有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)a=

1

e

此極大值若大于0的話，會(huì)有兩個(gè)實(shí)根，此極大值若小于0的話，則無(wú)實(shí)根．
因此a的取值范圍為：（-∞，0]∪{

1

e

}
故答案為：（-∞，0]∪{

1

e

}．