Question

中心在原點，焦點坐標為（0，±5

2

）的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點的橫坐標為

1

2

，則橢圓方程為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=50，再設直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點（x₀，y₀），利用點差法能示出橢圓的方程．

解答： 解：設橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=50①
又設直線3x-y-2=0與橢圓交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點（x₀，y₀）
∵x₀=

1

2

，∴代入直線方程得y₀=

3

2

-2=-

1

2

，
由

x12 b2 + y12 a2 =1 x22 b2 + y22 a2 =1

，得

y12-y22

a2

=-

x12-x22

b2

，
∴AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

x1+x2

y1+y2

=-

a2

b2

•

x0

y0

=3
∵

x0

y0

=-1，∴a²=3b²②
聯(lián)解①②，可得a²=75，b²=25，
∴橢圓的方程為：

x2

25

+

y2

75

=1
故答案為：

x2

25

+

y2

75

=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．