Question

16．已知函數(shù)f（x）=-（x-2）²+1，函數(shù)$g（x）=2sin（\frac{π}{6}x）sin（\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}）+a（a∈R）$，若存在x₁，x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{9}{2}$，1]．

Answer 1

分析 化簡g（x），求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令兩值域有公共解即可．

解答 解：f（x）的圖象開口向下，對稱軸為x=2，
∴f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）=1，最小值為f（4）=-3．
∴f（x）的值域為[-3，1]，
g（x）=2sin（$\frac{π}{6}x$）[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{6}$x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{π}{6}x$]+a=sin²（$\frac{π}{6}x$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}x$）cos（$\frac{π}{6}x$）+a
=$\frac{1-cos（\frac{π}{3}x）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}x$+a=sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
∵x∈[1，4]，∴$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴a≤g（x）≤$\frac{3}{2}$+a，即g（x）的值域為[a，a+$\frac{3}{2}$]．
∵存在x₁，x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[-3，1]∩[a，a+$\frac{3}{2}$]≠∅．
-3≤a≤1或-3≤a+$\frac{3}{2}$≤1，
解得-$\frac{9}{2}$≤a≤1．
故答案為[-$\frac{9}{2}$，1]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法，三角函數(shù)恒等變換，集合的關(guān)系，屬于中檔題．