Question

6．已知函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x），f（x）不是常數(shù)函數(shù)，且（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，對x∈[0，+∞）恒成立，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． ef（1）＜f（2）
• B． f（1）＜0
• C． ef（e）＜2f（2）
• D． f（1）＜2ef（2）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構造函數(shù)F（x）=xe^xf （x），求出函數(shù)的導數(shù)，得到F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0對x∈[0，+∞）恒成立，得出函數(shù)F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上單調遞增，利用函數(shù)的單調性和導數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：構造函數(shù)F（x）=xe^xf （x），則F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]，
∵（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，
∴F′（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立，
∴函數(shù)F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴F（1）＜F（2），
∴f（1）＜2ef（2），
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小，結合條件，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調性和導數(shù)的關系是解決本題的關鍵．