Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BE為⊙O的切線，點(diǎn)C為⊙O上不同于A，B的一點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與⊙O交于D，與BE交于E，連接BD，CD．
（1）求證：BD平分∠CBE；
（2）求證：AH•BH=AE•HC．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）由AD為∠BAC的平分線得

BD

=

CD

，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（2）證明△ABE∽△ACH，得出AH•BE=AE•HC即可．

解答： 證明：（1）∵AD為∠BAC的平分線，即∠DAB=∠DAC，
∴

BD

=

CD

，可得∠DBC=∠BCD，
又∵BE與圓O相切于點(diǎn)B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，
∴BD平分∠CBE；
（2）由（1）可知BE=BH，
所以AH•BH=AH•BE因?yàn)椤螪AB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，
所以△ABE∽△ACH，
所以

AH

AE

=

HC

BE

，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的直徑與切線，考查圓的幾何性質(zhì)，弦切角定理，三角形相似，屬于中檔題．