Question

【題目】在如圖所示的組合體中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）若圓柱的軸截面是正方形，當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線A1C與AB1的所成角的大��；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1﹣BCC1B1與圓柱的體積比．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，則OD∥A1C，
∴∠AOD（或其補(bǔ)角）為異面直線A1C與AB1的所成角，
設(shè)正方形的邊長為2，則△AOD中，OD= A1C= ，AO= ，AD= ，
∴cos∠AOD= =
∴∠AOD= ；
（Ⅱ）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，
當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)， ，
， ，
∴ ．
【解析】（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，則OD∥A1C，∠AOD（或其補(bǔ)角）為異面直線A1C與AB1的所成角，利用余弦定理，可求異面直線A1C與AB1的所成角的大小；（II）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，當(dāng)點(diǎn)C是弧弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積，求出三棱錐A1﹣ABC的體積為，從而求出四棱錐A1﹣BCC1B1的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A1﹣BCC1B1與圓柱的體積比．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）和異面直線及其所成的角的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題．