Question

【題目】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列為“H型數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{an}為“H型數(shù)列”，且a1= ﹣3，a2= ，a3=4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列{an}為“H型數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，請(qǐng)求出{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）已知等比數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且{an}為“H型數(shù)列”，bn= an ， cn= ，當(dāng)數(shù)列{bn}不是“H型數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列{cn}是否為“H型數(shù)列”，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣ ＞2，即2﹣ = ＞0，解得m 或m＜0．

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍時(shí)（﹣∞，0）∪

（2）解：假設(shè)存在等差數(shù)列{an}為“H型數(shù)列”，設(shè)公差為d，則d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+ ，由題意可得：n+ ＜n2+n對(duì)n∈N*都成立，即d 都成立．∵ =2+ ＞2，且 =2，∴d≤2，與d＞2矛盾，因此不存在等差數(shù)列{an}為“H型數(shù)列”
（3）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則an= ，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，

∴a1＞0，q＞1．∵an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在數(shù)列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”為最小項(xiàng)．

同理在數(shù)列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”為最小項(xiàng)．由{an}為“H型數(shù)列”，可知只需a2﹣a1＞2，

即 a1（q﹣1）＞2，又因?yàn)閧bn}不是“H型數(shù)列”，且“b2﹣b1”為最小項(xiàng)，∴b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3

，由數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，

①當(dāng)a1=1，q=4時(shí)， ，則 ，令 ，則 ，令 ，則

= ，

∴{dn}為遞增數(shù)列，

即 dn＞dn﹣1＞dn﹣2＞…＞d1，

即 cn+1﹣cn＞cn﹣cn﹣1＞cn﹣1﹣cn﹣2＞…＞c2﹣c1，

∵ ，所以，對(duì)任意的n∈N*都有cn+1﹣cn＞2，

即數(shù)列{cn}為“H型數(shù)列”．②當(dāng)a1=3，q=2時(shí)， ，

則 ，顯然，{cn}為遞減數(shù)列，c2﹣c1＜0≤2，

故數(shù)列{cn}不是“H型數(shù)列”；

綜上：當(dāng) 時(shí)，數(shù)列{cn}為“H型數(shù)列”，

當(dāng) 時(shí)，數(shù)列{cn}不是“H型數(shù)列”

【解析】（1）由題意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣ ＞2，即2﹣ = ＞0，解得m范圍即可得出．（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{an}為“H型數(shù)列”，設(shè)公差為d，則d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+ ，由題意可得：n+ ＜n2+n對(duì)n∈N*都成立，即d 都成立．解出即可判斷出結(jié)論．（3）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則an= ，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，可得an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1 ， 即在數(shù)列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”為最小項(xiàng)．同理在數(shù)列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”為最小項(xiàng)．由{an}為“H型數(shù)列”，可知只需a2﹣a1＞2，即 a1（q﹣1）＞2，又因?yàn)閧bn}不是“H型數(shù)列”，且“b2﹣b1”為最小項(xiàng)，可得b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得 a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通過(guò)分類(lèi)討論即可判斷出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．