Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+a₂=15，a₄²=9a₁a₅．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n＞

39

20

，試求n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式化簡條件，求出q、a₁的值，再求出a_n；（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算律化簡b_n，再求出

1

bn

，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為S_n，代入不等式化簡后求出n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₄²=9a₁a₅得，a₄²=9a₃²，即q²=9，
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以解得q=3，
由2a₁+a₂=15得，2a₁+3a₁=15，解得a₁=3，
所以a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）因?yàn)閍_n=3ⁿ，
所以b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
則

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
由

2n

n+1

＞

39

20

解得，n＞39，
所以n的最小值為40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算律，以及裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．