Question

16．下列不等式一定成立的是（　　）

• A． x²+1≥2|x|（x∈R）
• B． lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）
• C． sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠kπ，k∈Z）
• D． $\frac{1}{{x}^{2}+1}$＜1（x∈R）

Answer 1

分析 由重要不等式a²+b²≥2ab，即可判斷A一定成立；取x=$\frac{1}{2}$，計(jì)算可判斷B不一定成立；舉x=$\frac{7π}{6}$時(shí)，計(jì)算判斷C不一定成立；取x=0，計(jì)算即可判斷D不一定成立．

解答 解：對(duì)于A，x²+1≥2|x|，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)，取得等號(hào)．故A一定成立；
對(duì)于B，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，lg（x²+$\frac{1}{4}$）=lgx，故B不一定成立；
對(duì)于C，當(dāng)x=$\frac{7π}{6}$時(shí)，sinx=-$\frac{1}{2}$，sinx+$\frac{1}{sinx}$＜2，故C不一定成立；
對(duì)于D，當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，故D不一定成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查特殊值法解選擇題的方法，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．