Question

已知函數(shù)f（x）=a lnx+（a-1）x²+1  是減函數(shù)，則對于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|的充要條件是

 

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Answer 1

分析：利用f（x）遞減，將絕對值符號去掉，變形；通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)遞減；等價于其導函數(shù)小于等于0恒成立，求出a的范圍．

解答：解：（必要性）不妨設x₁＞x₂＞0
∵f（x）是減函數(shù)
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|即為f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂
所以f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x，可知g（x）單調(diào)遞減
∵g（x）=alnx+（a-1）x²+4x+1
∴g′(x)=

a

x

+2(a-1)x+4=

2(a-1)x2+4x+a

x

≤0在（0，+∞）恒成立
即2（a-1）x²+4x+a≤0在（0，+∞）恒成立
對稱軸為x=

1

1-a

當a=1時，不合題意
當

a-1＜0 2(a-1)( 1 1-a )2+ 4 1-a +a≤0

解得a≤-1
（充分性）當a＜-1時，易證得對于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
綜上知，對于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|的充要條件是a≤-1
故答案為：a≤-1

點評：本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性定義、考查通過構(gòu)造新函數(shù)、將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性、考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、考查解決二次不等式恒成立問題．