【題目】如圖，已知長(zhǎng)方體，直線與平面所成角為垂直于點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，為的中點(diǎn).

【解析】試題分析：

由題意可知，故得，由此可得．（1）結(jié)合條件建立空間直角坐標(biāo)系，由條件可求得平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)線面角的求法可得所求角的正弦值為．（2）根據(jù)條件可得，由此可得平面的一個(gè)法向量為，再由所給出的條件可求得，從而存在點(diǎn)滿足條件，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

試題解析：

由題意得，

所以為直線與面所成的角，故

又

．

由．

（1）以為正交基底建立平面直角坐標(biāo)系，

則，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?/span>，

由，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則 ，

所以直線與面所成角的正弦值為．

（2）令，則，

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由，

由題意可得

，

整理得

解得或．

又，

．

所以存在點(diǎn)滿足條件，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，長(zhǎng)方體中， ， ，點(diǎn)， ， 分別為， ， 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，且與長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)幾何圖形.

（1）在圖中畫(huà)出這個(gè)幾何圖形（說(shuō)明畫(huà)法，不需要說(shuō)明理由）；

（2）求二面角 的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)的圖象與軸正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列敘述不正確的是（ ）

A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

C. 在上是增函數(shù) D. 是奇函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中， ， ， ， ， 是棱的中點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率是，直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于， 兩點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)， 的周長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某海產(chǎn)品經(jīng)銷商調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該海產(chǎn)品每售出噸可獲利萬(wàn)元，每積壓噸則虧損萬(wàn)元.根據(jù)往年的數(shù)據(jù)，得到年需求量的頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.

（1）請(qǐng)補(bǔ)齊上的頻率分布直方圖，并依據(jù)該圖估計(jì)年需求量的平均數(shù)；

（2）今年該經(jīng)銷商欲進(jìn)貨噸，以（單位：噸， ）表示今年的年需求量，以（單位：萬(wàn)元）表示今年銷售的利潤(rùn)，試將表示為的函數(shù)解析式；并求今年的年利潤(rùn)不少于萬(wàn)元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)，參數(shù)，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在曲線： 上.

（1）求點(diǎn)的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(Ⅰ)求證： 平面；

(Ⅱ)四棱錐的體積是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】某公司為了準(zhǔn)確把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品計(jì)劃，特對(duì)某產(chǎn)品做了市場(chǎng)調(diào)查：先銷售該產(chǎn)品50天，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每天的銷售量分布在內(nèi)，且銷售量的分布頻率滿足：

（1）求的值并估計(jì)銷售量的平均數(shù)；

（2）若銷售量大于等于80，則稱該日暢銷，其余為滯銷．在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6天，再?gòu)倪@6天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，求這3天不都來(lái)自同一組的概率．

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