Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為和，離心率是，直線過點交橢圓于， 兩點，當直線過點時， 的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當直線繞點運動時，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的標準方程為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結合橢圓的定義可知的周長為 ， ，結合離心率可知， ，則橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）設， 兩點坐標分別為， ，當直線與軸重合時， ，當直線與軸重合時， ，當直線斜率為時， ，當直線斜率存在且不為時，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，則， ，結合韋達定理整理計算可得不等式，解得，則.

試題解析：

（Ⅰ）∵的周長為 ，

∴，

又，∴，∴，

∴橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）設， 兩點坐標分別為， ，

當直線與軸重合時， 點與上頂點重合時， ，

當直線與軸重合時， 點與下頂點重合時， ，

當直線斜率為時， ，

當直線斜率存在且不為時，不妨設直線方程為，

聯(lián)立，

得，

則有，①

②

設，則，代入①②得

③

④

∴ ，

即，解得，

綜上，